问题：
设f(x)是E上的可测函数，B是R中的博雷尔集。试证：f -1 (B)是可测集。又当B是任意可测集时
答案：
对于第一问，当G是开区间、开集、闭集时，分别可证明f -1 (G)可测，从而可证f -1 (B)可测。 对于第二问，结论是不一定可测，下面给出反例。 设P 0 是康托尔完备集，称其长为 的剩余区间为第k级剩余区间。第足级剩余区间从左往右数的第i个记作δ i k 定义 其中k=1，2，3，…；i=1，2，3，…，2 k-1 。ψ(x)在[0，1]上连续且严格单调递增。 设 ψ(P 0 )=F，则mF=1。以A 0 表示F的任一不可测子集，f表示ψ的反函数，显然f是[0，2]上的可测函数且A=f(A 0 ) P 0 ，故可测，但f -1 (A)=A 0 却不可测。