问题：

证明:映射的乘法满足结合律,举例说明:映射的乘法不满足交换律。 (10 分)

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答案：

答 :设n阶矩阵为A=(aij),B=(bij),C=(cij),AB=(dij),BC=(eij),(AB)C=(fij),A(BC)=(gij) 由矩阵的乘法得 dij=ai1*b1j+ai2*b2j+...+ain*bnj,i,j=1,2,...,n, eij=bi1*c1j+bi2*c2j+...+bin*cnj,i,j=1,2,...,n, fij=di1*c1j+di2*c2j+...+din*cnj,i,j=1,2,...,n, gij=ai1*e1j+ai2*e2j+...+ain*enj,i,j=1,2,...,n, 故对任意i,j=1,2,...,n有, fij=di1*c1j+di2*c2j+...+din*cnj =(ai1*b11+ai2*b21+...+ain*bn1)*c1j+(ai1*b11+ai2*b21+...+ain*bn1)*c2j+...+(ai1*b1n+ai2*b2n+...+ain*bnn)*cnj =ai1(b11*c1j+b12*c2j+...+b1n*cnj)+ai2(b21*c1j+b22*c2j+...+b2n*cnj) +...+ain(bn1*c1j+bn2*c2j+...+bnn*cnj) =ai1*e1j+ai2*e2j+...+ain*enj=gij 故(AB)C=A(BC).